【題目】如圖所示的幾何體中，為直三棱柱，四邊形為平行四邊形，，，.

（1）證明：四點共面，且；

（2）若，點是上一點，求四棱錐的體積，并判斷點到平面的距離是否為定值？請說明理由.

【答案】（1）證明見解析 （2）到平面的距離為定值，理由見解析

【解析】

（1）利用平行的傳遞性即可得到四邊形為平行四邊形，故，，，四點共面.根據(jù)已知得到，再利用勾股定理得到，即可證明平面，即.

（2）由（1）知平面，故四棱錐的高為，再計算其體積即可.因為∥，所以點到平面的距離為定值，且等于.

（1）證明：因為為直三棱柱，

所以∥，且，又因為四邊形為平行四邊形，

所以∥，且，所以∥，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，，，四點共面.

因為，又平面，

所以，所以四邊形為正方形，連接交于，

所以.

在中，，.

由余弦定理得，

所以，所以，

所以，又，

所以平面，所以，

又因為，所以平面；

所以.

（2）解：由（1）知：平面，

在△中，由已知得，所以，

所以四棱錐的體積.

因為∥，所以點到平面的距離為定值，

即為點到平面的距離.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，人們支付方式發(fā)生巨大轉(zhuǎn)變，使用移動支付購買商品已成為一部分人的消費(fèi)習(xí)慣，某企業(yè)為了解該企業(yè)員工兩種移動支付方式的使用情況，從全體員工中隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計了他們在某個月的消費(fèi)支出情況，發(fā)現(xiàn)樣本中兩種支付方式都沒有使用過的有5人；使用了兩種方式支付的員工，支付金額和相應(yīng)人數(shù)分布如下表，依據(jù)數(shù)據(jù)估算：若從該公司隨機(jī)抽取1名員工，則該員工在該月兩種支付方式都使用過的概率為_______________

支付金額（元）

支付方式

大于2000

使用

18人

29人

23人

使用

10人

24人

21人

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【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍，并證明.

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【題目】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分正品與次品，正品重，次品重，現(xiàn)有5袋產(chǎn)品（每袋裝有10個產(chǎn)品），已知其中有且只有一袋次品（10個產(chǎn)品均為次品）如果將5袋產(chǎn)品以1～5編號，第袋取出個產(chǎn)品（），并將取出的產(chǎn)品一起用秤（可以稱出物體重量的工具）稱出其重量，若次品所在的袋子的編號是2，此時的重量_________；若次品所在的袋子的編號是，此時的重量_______.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸的建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程；

（2）若點與點分別為曲線動點，求的最小值，并求此時的點坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，是上一點.

（1）求證:平面平面；

（2）若是的中點，且二面角的余弦值是，求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】博覽會安排了分別標(biāo)有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（ ）

A. P1P2＝ B. P1＝P2＝ C. P1+P2＝ D. P1＜P2

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【題目】為了減輕家庭困難的高中學(xué)生的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)，讓更多的孩子接受良好的教育，國家施行高中生國家助學(xué)金政策，普通高中國家助學(xué)金平均資助標(biāo)準(zhǔn)為每生每年1500元，具體標(biāo)準(zhǔn)由各地結(jié)合實際在1000元至3000元范圍內(nèi)確定，可以分為兩或三檔.各學(xué)校積極響應(yīng)政府號召，通過各種形式宣傳國家助學(xué)金政策.為了解某高中學(xué)校對國家助學(xué)金政策的宣傳情況，擬采用隨機(jī)抽樣的方法抽取部分學(xué)生進(jìn)行采訪調(diào)查.

（1）若該高中學(xué)校有2000名在校學(xué)生，編號分別為0001，0002，0003，…，2000，請用系統(tǒng)抽樣的方法，設(shè)計一個從這2000名學(xué)生中抽取50名學(xué)生的方案.（寫出必要的步驟）

（2）該校根據(jù)助學(xué)金政策將助學(xué)金分為3檔，1檔每年3000元，2檔每年2000元，3檔每年1000元，某班級共評定出3個1檔，2個2檔，1個3檔，若從該班獲得助學(xué)金的學(xué)生中選出2名寫感想，求這2名同學(xué)不在同一檔的概率.

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【題目】已知三棱錐的棱長均為6，其內(nèi)有個小球，球與三棱錐的四個面都相切，球與三棱錐的三個面和球都相切，如此類推，…，球與三棱錐的三個面和球都相切（，且），則球的體積等于__________，球的表面積等于__________.

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