Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣k（ +lnx），若x=2是函數(shù)f（x）的唯一一個極值點，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）
A.（﹣∞，e]
B.[0，e]
C.（﹣∞，e）
D.[0，e）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函數(shù)f（x）= ﹣k（ +lnx），

∴函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）

∴f′（x）= ﹣k（﹣ + ）=

∵x=2是函數(shù)f（x）的唯一一個極值點

∴x=2是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0的唯一根．

∴ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點，

令g（x）=ex﹣kx

g′（x）=ex﹣k

①k≤0時，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時單調(diào)遞增的

g（x）的最小值為g（0）=1，g（x）=0無解

②k＞0時，g′（x）=0有解為：x=lnk

0＜x＜lnk時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減

lnk＜x時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增

∴g（x）的最小值為g（lnk）=k﹣klnk

∴k﹣klnk＞0

∴k＜e，

由y=ex和y=ex圖象，它們切于（1，e），

綜上所述，k≤e．

故選C.

由f（x）的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出，需要對k進行分類討論來確定導(dǎo)函數(shù)為0時的根．