Question

【題目】定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）滿足f（x）﹣f（﹣x）=2x3 ， 當(dāng)x∈（﹣∞，0]時(shí)f'（x）＜3x2 ， 實(shí)數(shù)a滿足f（1﹣a）﹣f（a）≥﹣2a3+3a2﹣3a+1，則a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：令g（x）=f（x）﹣x3，

則g（﹣x）=f（﹣x）﹣x3，

則g（x）﹣g（﹣x）=f（x）﹣f（﹣x）﹣2x3=0，得g（x）為R上的偶函數(shù)，

∵x＜0時(shí)，g'（x）=f'（x）﹣3x2＜0，故g（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，

再結(jié)合g（x）為偶函數(shù)，知g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，

又g（1﹣a）﹣g（a）=f（1﹣a）﹣（1﹣a）3﹣（f（a）﹣a3）=f（1﹣a）﹣f（a）+2a3﹣3a2+3a﹣1=0，

則g（1﹣a）≥g（a）等價(jià)于|1﹣a|≥|，解得a≤ ，即a∈（﹣∞， ]．

故選：D．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．