Question

【題目】如圖，已知， ，且是的中點，.

（1）求證：；

（2）求證：平面平面；

（3）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）。

【解析】

（1）取的中點，可以利用中位線定理，根據已知的平行關系和長度關系，可以得到一個平行四邊形，利用平行四邊形的對邊平行，這樣得到線線平行，也就能證明出線面平行；

（2）通過已知和（1）可知，通過線面垂直和平行線的性質，可以這樣可以證明出線面垂直，而從而證明出平面利用面面垂直的判定定理可以證明出平面平面；

（3）通過（2）證明出的線面垂直關系，找到線面角，利用勾股定理、平行四邊形的性質，求出相關的邊，利用正弦的定義，求出與平面所成角的正弦值。

（1）如上圖，取的中點，連接,

由是的中點，且又，且

且. 是平行四邊形，從而，

又平面，平面, 因此；

（2）證明：是的中點，，

因為平面，，所以平面，

又平面 而 平面

由可知平面 平面，平面平面；

（3）由（2）知平面 是在平面的射影，則與平面所成的角為，因為，所以,由（1）可知：

是平行四邊形，從而，

在中，

與平面所成角的正弦值是。