Question

【題目】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.

（1）寫出函數(shù)的解析式；

（2）若對任意 ， 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得在上恰有個零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）利用三角函數(shù)的圖象變換，即可求得函數(shù)的解析式；

（2）令，則恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；

（3）由題意可得的圖象與在上有2019個交點(diǎn)，分類討論，即可求得和的值.

（1）把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得到函數(shù)的圖象，再向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，

故函數(shù)的解析式為.

（2）若對于任意，則，所以，

又由恒成立，

令，則恒成立，

則，解得.

（3）因為在上恰有個零點(diǎn)，

故函數(shù)的圖象與在上有2019個交點(diǎn)，

當(dāng)時，，

①當(dāng)或時，函數(shù)的圖象與在上無交點(diǎn)；

②當(dāng)或時，函數(shù)的圖象與在上僅有一個交點(diǎn)，

此時要使得函數(shù)的圖象與在上有2019個交點(diǎn)，則；

③當(dāng)或時，函數(shù)的圖象與在上2個交點(diǎn)，

此時要使得函數(shù)的圖象與在上的交點(diǎn)個數(shù)，不能是2019個；

④當(dāng)時，函數(shù)的圖象與在上3個交點(diǎn)，

此時要使得函數(shù)的圖象與在上有2019個交點(diǎn)，則；

綜上可得，當(dāng)或時，；當(dāng)時，.