【題目】已知函數(shù).
(1)當時,討論函數(shù)的單調性;
(2)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調遞減區(qū)間為,;單調遞增區(qū)間為,.(2)
【解析】
(1)根據(jù)題意,代入,求導,利用導數(shù)的正負求解單調區(qū)間
(2)根據(jù)題意,對函數(shù)求導,因為存在,使得成立,所以在區(qū)間上存在極值點,轉化成在區(qū)間上有解,再轉化成有解,令,根據(jù)導數(shù)求解的值域,即可求解參數(shù)取值范圍.
(1)由,
得.
令,則,
解得,,.
當時,,單調遞減;
當時,,單調遞增;
當時,,單調遞減;
當時,,單調遞增.
綜上,函數(shù)的單調遞減區(qū)間為,;
單調遞增區(qū)間為,.
(2)由已知可得.
因為存在,使得成立,
所以在區(qū)間上存在極值點,所以在區(qū)間上有解.
所以,即有解.
令,則,
當時,恒成立,
所以在上單調遞增,所以.
又,,所以,
所以.
即實數(shù)的取值范圍是.
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【題目】已知點是圓:上的一動點,點,點在線段上,且滿足.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)設曲線與軸的正半軸,軸的正半軸的交點分別為點,,斜率為的動直線交曲線于、兩點,其中點在第一象限,求四邊形面積的最大值.
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【題目】已知如圖1直角梯形,,,,,E為的中點,沿將梯形折起(如圖2),使平面平面.
(1)證明:平面;
(2)在線段上是否存在點F,使得平面與平面所成的銳二面角的余弦值為,若存在,求出點F的位置;若不存在,請說明理由.
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【題目】平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y2=2px(p>0)及點M(2,0),動直線l過點M交拋物線于A,B兩點,當l垂直于x軸時,AB=4.
(1)求p的值;
(2)若l與x軸不垂直,設線段AB中點為C,直線l1經過點C且垂直于y軸,直線l2經過點M且垂直于直線l,記l1,l2相交于點P,求證:點P在定直線上.
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【題目】已知常數(shù),數(shù)列的前項和為, 且 .
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)若 ,且數(shù)列是單調遞增數(shù)列,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若 ,數(shù)列滿足:對于任意給定的正整數(shù) ,是否存在 ,使 ?若存在,求 的值(只要寫出一組即可);若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,正方體的棱長為,動點在線段上,、分別是、的中點,則下列結論中正確的是______________.
①與所成角為;
②平面;
③存在點,使得平面平面;
④三棱錐的體積為定值.
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【題目】教育部日前出臺《關于普通高中學業(yè)水平考試的實施意見》,根據(jù)意見,學業(yè)水平考試成績以“等級”或“合格、不合格”呈現(xiàn).計入高校招生錄取總成績的學業(yè)水平考試的3個科目成績以等級呈現(xiàn),其他科目一般以“合格、不合格”呈現(xiàn).若某省規(guī)定學業(yè)水平考試中歷史科各等級人數(shù)所占比例依次為:A等級,B等級,C等級,D、E等級共.現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從某省參加歷史學業(yè)水平考試的學生中抽取100人作為樣本,則該樣本中獲得A或B等級的學生中一共有( )
A.30人B.45人C.60人D.75人
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【題目】某面包店推出一款新面包,每個面包的成本價為4元,售價為10元,該款面包當天只出一爐(一爐至少15個,至多30個),當天如果沒有售完,剩余的面包以每個2元的價格處理掉.為了確定這一爐面包的個數(shù),該店記錄了這款新面包最近30天的日需求量(單位:個),整理得下表:
日需求量 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 |
頻數(shù) | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知,頻數(shù)與日需求量(單位:個)線性相關,求關于的線性回歸方程;
(2)以30天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率,若該店這款新面包出爐的個數(shù)為24,記當日這款新面包獲得的總利潤為(單位:元).
(i)若日需求量為15個,求;
(ii)求的分布列及其數(shù)學期望.
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