Question

【題目】在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“Z拓展”.如數(shù)列1，2第1次“Z拓展”后得到數(shù)列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到數(shù)列1，4，3，5，2.設(shè)數(shù)列a，b，c經(jīng)過第n次“Z拓展”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為Pn，所有項(xiàng)的和記為Sn.

（1）求P1，P2；

（2）若Pn≥2020，求n的最小值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得數(shù)列{Sn}為等比數(shù)列？若存在，求a，b，c滿足的條件；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）P1＝5；P2＝9.（2）n的最小值為10.（3）存在；a，b，c滿足的條件為或者

【解析】

（1）因原數(shù)列有3項(xiàng)，經(jīng)第1次拓展后增加兩項(xiàng)，可得項(xiàng)數(shù)P1；經(jīng)第2次拓展后增加4項(xiàng)，可得項(xiàng)數(shù)P2.

（2）因數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，由數(shù)列經(jīng)第n次拓展后的項(xiàng)數(shù)為Pn，則經(jīng)第n+1次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為Pn﹣1，可得Pn+1＝Pn+（Pn﹣1）＝2Pn﹣1，變形利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.

（3）設(shè)第n次拓展后數(shù)列的各項(xiàng)為a，a1，a2，a3，…，am，c.可得Sn＝a+a1+a2+a3+…+am+c，因數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加這兩項(xiàng)的和，可得Sn+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+am+（am+c）+c，可得Sn+1＝3Sn﹣（a+c），變形利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.

（1）因原數(shù)列有3項(xiàng)，經(jīng)第1次拓展后的項(xiàng)數(shù)P1＝3+2＝5；

經(jīng)第2次拓展后的項(xiàng)數(shù)P2＝5+4＝9.

（2）因數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，

由數(shù)列經(jīng)第n次拓展后的項(xiàng)數(shù)為Pn，則經(jīng)第n+1次拓展后增加的項(xiàng)數(shù)為Pn﹣1，

所以Pn+1＝Pn+（Pn﹣1）＝2Pn﹣1

所以Pn+1﹣1＝2Pn﹣2＝2（Pn﹣1），

由（1）知P1﹣1＝4，

所以，

由，即2n+1≥2019，解得n≥10

所以n的最小值為10.

（3）設(shè)第n次拓展后數(shù)列的各項(xiàng)為a，a1，a2，a3，…，am，c

所以Sn＝a+a1+a2+a3+…+am+c

因數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加這兩項(xiàng)的和，

所以Sn+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+am+（am+c）+c

即Sn+1＝2a+3a1+3a2+…+3am+2c

所以Sn+1＝3Sn﹣（a+c），

得

由S1＝2a+3b+2c，則，

若使Sn為等比數(shù)列，則或

所以，a，b，c滿足的條件為或者.