【題目】是定義在區(qū)間上且同時滿足如下條件的函數(shù)所組成的集合:
①對任意的,都有;
②存在常數(shù),使得對任意的,都有
(1)設(shè),試判斷是否屬于集合;
(2)若,如果存在,使得,求證:滿足條件的是唯一的;
(3)設(shè),且,試求參數(shù)的取值范圍
【答案】(1)是的元素;(2)證明見解析;(3)
【解析】
(1)構(gòu)造函數(shù)f(x)=φ(x)xx2x+1,判斷單調(diào)性求最值即可證明
(2)要證明唯一性通過反證法來證明,假設(shè)滿足這樣條件的x0有兩個,導(dǎo)出矛盾.
(3)轉(zhuǎn)化為c(x2﹣x1)恒成立,利用單調(diào)性求最值求解
(1)x∈[1,2],所以φ(x)∈(,)
令f(x)=φ(x)xx2x+1,則f'(x)x,
因為x∈[1,2],所以f'(x)≤0,所以f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,
對任意1≤x1≤x2≤2,f(x1)≤f(x2)φ(x2)﹣φ(x1)(x2﹣x1)|φ(x1)﹣φ(x2)||x1﹣x2|,即存在
所以φ(x)∈A.
(2)假設(shè)存在不同的兩個數(shù)a、b∈(1,2),使得φ(a)=a,φ(b)=b,
因為φ(x)∈A,所以|φ(a)﹣φ(b)|=|a﹣b|≤c|a﹣b|,
因為a≠b,所以|a﹣b|>
所以滿足x0=φ(x0)的x0是唯一的.
(3)因為φ(x)單調(diào)遞增,故φ(x)∈(1,2),所以,解得b∈(,);
對任意1≤x1≤x2≤2,|φ(x1)﹣φ(x2)|c(x2﹣x1)
所以對任意1≤x1≤x2≤2恒成立,
所以b.
綜上b∈(,).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在常數(shù),使得數(shù)列滿足對一切恒成立,則稱為可控數(shù)列,.
(1)若,,問有多少種可能?
(2)若是遞增數(shù)列,,且對任意的,數(shù)列,,成等差數(shù)列,判斷是否為可控數(shù)列?說明理由;
(3)設(shè)單調(diào)的可控數(shù)列的首項,前項和為,即.問的極限是否存在,若存在,求出與的關(guān)系式;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若,求曲線在處的切線方程;
(2)設(shè)函數(shù)若至少存在一個,使得成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)設(shè)橢圓與雙曲線有相同的焦點、,是橢圓與雙曲線的公共點,且△的周長為6,求橢圓的方程;我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”;
(2)如圖,已知“盾圓”的方程為,設(shè)“盾圓”上的任意一點到的距離為,到直線的距離為,求證:為定值;
(3)由拋物線弧()與第(1)小題橢圓弧()所合成的封閉曲線為“盾圓”,設(shè)過點的直線與“盾圓”交于、兩點,,,且(),試用表示,并求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,其中.
(1)若,寫出的單調(diào)區(qū)間:
(2)若函數(shù)恰有三個不同的零點,且這些零點之和為-2,求a、b的值;
(3)若函數(shù)在上有四個不同零點,求的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中, // , ⊥, ⊥, 點是邊的中點, 將△沿折起,使平面⊥平面,連接, , , 得到如
圖所示的空間幾何體.
(Ⅰ)求證: ⊥平面;
(Ⅱ)若,求點到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的水平測試,學(xué)校決定利用隨機數(shù)表法從中抽取100人進行成績抽樣調(diào)查,先將800人按001,002,…,800進行編號.
(1)如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀,請你依次寫出最先檢查的3個人的編號;
(下面摘取了第7行到第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測試成績?nèi)缦卤恚?/span>
成績分為優(yōu)秀、良好、及格三個等級;橫向,縱向分別表示地理成績與數(shù)學(xué)成績,例如:表中數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己玫墓灿?/span>20+18+4=42.
人數(shù) | 數(shù)學(xué) | |||
優(yōu)秀 | 良好 | 及格 | ||
| 優(yōu)秀 | 7 | 20 | 5 |
良好 | 9 | 18 | 6 | |
及格 | a | 4 | b |
①若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率是30%,求a,b的值:
②在地理成績及格的學(xué)生中,已知求數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義,已知函數(shù)、定義域都是,給出下列命題:
(1)若、都是奇函數(shù),則函數(shù)為奇函數(shù);
(2)若、都是減函數(shù),則函數(shù)為減函數(shù);
(3)若,,則;
(4)若、都是周期函數(shù),則函數(shù)是周期函數(shù).
其中正確命題的個數(shù)為( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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