Question

【題目】如圖，已知橢圓： 的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓： ，設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）求的最小值，并求此時(shí)圓的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于, 的任意一點(diǎn)，且直線分別與軸交于點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， ；（3），證明見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率以及圓的方程，求出的值，進(jìn)而可得到橢圓的方程；（2）先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出，再根據(jù), 在橢圓上，即可求出的最小值，進(jìn)而可求出此時(shí)圓的方程；（3）先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出直線的方程，進(jìn)而得到的表達(dá)式，再根據(jù)點(diǎn) 在橢圓上，即可證得為定值．

試題解析：（1）依題意，得， ，；

故橢圓的方程為

（2）方法一：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，， 不妨設(shè)．

由于點(diǎn)在橢圓上，所以． （*）

由已知，則，，

由于，故當(dāng)時(shí)， 取得最小值為．

由（*）式，，故，又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到

故圓的方程為： ．

方法二：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故設(shè)，

不妨設(shè)，由已知，則

故當(dāng)時(shí)， 取得最小值為，此時(shí)，

又點(diǎn)在圓上，代入圓的方程得到．

故圓的方程為： ．

(3) 方法一：設(shè)，則直線的方程為：，

令，得， 同理：，

故（**）

又點(diǎn)與點(diǎn)在橢圓上，故，，

代入（**）式，得：．

所以為定值．

方法二：設(shè)，不妨設(shè)，，其中．則直線的方程為：，

令，得，

同理：，

故．

所以為定值