Question

【題目】已知函數(shù)滿(mǎn)足，定義數(shù)列， ， ，數(shù)列的前項(xiàng)和為， ，且．

（1） 求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）令，求的前項(xiàng)和；

（3）數(shù)列中是否存在三項(xiàng)使成等差數(shù)列，若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】(1) ,;(2) ;(3)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合題意中的遞推關(guān)系可得,；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論錯(cuò)位相減可得；

(3)假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的，結(jié)合題意討論可得矛盾，假設(shè)不成立，即不存在任三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列．

試題解析：

（1）由題意知： ， 又

是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故，

由， 可得：

是等差數(shù)列， ,當(dāng)時(shí)， 滿(mǎn)足上式，

（2），

……①

兩邊同乘公比得， ……②

①②得化簡(jiǎn)得： .

（3）假設(shè)存在使成等差數(shù)列，

則， ，兩邊同除，得，

為偶數(shù)，而為奇數(shù)，因左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，矛盾．

∴假設(shè)不成立，故不存在任三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列．