Question

【題目】為豐富學生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個階段進行：第一階段由評委給出所有參賽作品評分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計員對第一階段的分數(shù)進行了統(tǒng)計分析，這些分數(shù)都在內，在以組距為5畫分數(shù)的頻率分布直方圖（設“”)時，發(fā)現(xiàn)滿足.

（1）試確定的所有取值，并求；

（2）組委會確定：在第一階段比賽中低于85分的參賽者無緣獲獎也不能參加附加賽；分數(shù)在的參賽者評為一等獎；分數(shù)在的同學評為二等獎，但通過附加賽有的概率提升為一等獎；分數(shù)在的同學評為三等獎，但通過附加賽有的概率提升為二等獎（所有參加附加賽的獲獎人員均不降低獲獎等級）.已知學生和均參加了本次比賽，且學生在第一階段評為二等獎.

（）求學生最終獲獎等級不低于學生的最終獲獎等級的概率；

（）已知學生和都獲獎，記兩位同學最終獲得一等獎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（）分布列見解析，.

【解析】

（1）在內，按組距為5可分成6個小區(qū)間，分別是,,，，，.由，，能求出的所有取值和；

（2）（）由于參賽學生很多，可以把頻率視為概率.學生的分數(shù)屬于區(qū)間，，，，，的概率分別是，，，，，.用符號或（）表示學生 （或）在第一輪獲獎等級為，通過附加賽最終獲獎等級為，其中，記“學生最終獲獎等級不低于學生的最終獲獎等級”為事件，由此能求出學生最終獲獎等級不低于學生的最終獲獎等級的概率；

（）學生最終獲得一等獎的概率是，學生最終獲得一等獎的概率是，的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，求出的分布列和.

（1）根據(jù)題意，在內，按組距為5可分成6個小區(qū)間，

分別是，

，

由，.

每個小區(qū)間的頻率值分別是.

由，解得.

的所有取值為，.

（2）（）由于參賽學生很多，可以把頻率視為概率.

由（1）知，學生的分數(shù)屬于區(qū)間的概率分別是：，，，，，.

我們用符號（或)表示學生（或）在第一輪獲獎等級為，通過附加賽最終獲獎等級為，其中.

記“學生最終獲獎等級不低于學生的最終獲獎等級”為事件，

則

.

（）學生最終獲得一等獎的概率是，

學生最終獲得一等獎的概率是，

，

，

，

的分布列為：

.