Question

【題目】設(shè)，函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】

試題(1)當(dāng)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的解析式求得切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；（2）先討論函數(shù)的符號(hào)，由于，所以可分離參數(shù)得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性求出其最大值，求得實(shí)數(shù)的取值范圍，再確定函數(shù)的符號(hào)，再分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，求得函數(shù)的最小值，綜合以上過程即得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析:（1）當(dāng)時(shí)，，∴，∵，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為即．

（2）若對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，則，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，∴．

∵無最小值，∴對(duì)恒成立不可能．

∵對(duì)恒成立，∴，即對(duì)恒成立．

設(shè)，∴，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，∴．

綜上可得，．