Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求的極值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）極小值為0，無(wú)極大值（Ⅱ）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)條件可知，解得，，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的極值；（Ⅱ）分 四種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，和零點(diǎn)存在性定理討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（Ⅰ）由得 ，

所以，所以，

所以.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以時(shí)，函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值

（Ⅱ） .

（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)

（ii）當(dāng)時(shí)，

①若 ，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值。

因?yàn)?/span>，所以

又因?yàn)?/span> ，

由，可得 ，

所以函數(shù)在上也有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在上共有兩個(gè)零點(diǎn)

②若 ，由（I）可知，函在上只有一個(gè)零

③若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在 處取得極小值.

因?yàn)?/span>，所以

因?yàn)?/span> ，

記，所以 ，

由，可得當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，

所以 ，

所以函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，即此時(shí)函數(shù)在上共有兩個(gè)零點(diǎn)

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)