Question

【題目】已知圓C：．

(1)求圓的圓心C的坐標(biāo)和半徑長；

(2)直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且不與y軸重合，l與圓C相交于兩點(diǎn)，求證：為定值；

(3)斜率為1的直線m與圓C相交于D、E兩點(diǎn)，求直線m的方程，使的面積最大．

Answer 1

【答案】(1)圓心C的坐標(biāo)為(－1，0)，圓的半徑長為2；(2)證明見解析； (3)

．

【解析】

試題（1）把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立圓的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系化簡即可證出；（3）

試題解析：(1)配方得(x＋1)2＋y2＝4，則圓心C的坐標(biāo)為(－1，0)(2分)，圓的半徑長為2；

(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx，聯(lián)立方程組

消去y得(1＋k2)x2＋2x－3＝0(5分)，則有：

所以為定值.

(3)解法一　設(shè)直線m的方程為y＝kx＋b，則圓心C到直線m的距離，

所以，

≤，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，△CDE的面積最大

從而，解之得b＝3或b＝－1，

故所求直線方程為x－y＋3＝0或x－y－1＝0

解法二　由(1)知|CD|＝|CE|＝R＝2，

所以≤2，

當(dāng)且僅當(dāng)CD⊥CE時(shí)，△CDE的面積最大，此時(shí)

設(shè)直線m的方程為y＝x＋b，則圓心C到直線m的距離

由，得，

由，得b＝3或b＝－1，

故所求直線方程為x－y＋3＝0或x－y－1＝0.