已知橢圓C:的離心率與等軸雙曲線的離心率互為倒數(shù),直線與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切。
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)M是橢圓的上頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M分別作直線MA,MB交橢圓于A,B兩點(diǎn),設(shè)兩直線的斜率分別為k1,k2,且k1+k2=2,證明:直線AB過(guò)定點(diǎn)(―1,―1)

(Ⅰ);(Ⅱ)詳見(jiàn)解析

解析試題分析:(I)由等軸雙曲線的離心率為,可得橢圓的離心率,因?yàn)橹本,與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切,利用點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓相切的性質(zhì)可得,,再利用即可得出;(II)分直線AB的斜率不存在與存在兩種情況討論,①不存在時(shí)比較簡(jiǎn)單;②斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為,由橢圓 與橢圓的方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系及斜率公式,再利用即可證明
試題解析:(Ⅰ)由題意得
                                          2分
,解得                        4分
故橢圓C的方程為                              5分
(Ⅱ)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),設(shè)A,則B,由k1+k2=2得
,得                           7分
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)AB的方程為y=kx+b(),,

   9分


,             11分

故直線AB過(guò)定點(diǎn)(―1,―1)                          13分
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的關(guān)系;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知橢圓 的離心率為 ,點(diǎn) 為其下焦點(diǎn),點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò) 的直線 (其中)與橢圓 相交于兩點(diǎn),且滿足:.

(1)試用  表示 ;
(2)求  的最大值;
(3)若 ,求  的取值范圍.

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已知點(diǎn)在拋物線上.
(1)若的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,記三邊,所在直線的斜率分別為,,,求的值;
(2)若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,記四邊,,,所在直線的斜率分別為,,,求的值.

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已知橢圓)的右焦點(diǎn)為,離心率為.
(Ⅰ)若,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓相交于,兩點(diǎn),分別為線段的中點(diǎn). 若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上,且,求的取值范圍.

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已知橢圓:的離心率為,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知為橢圓的左頂點(diǎn),平行于的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).判斷直線是否關(guān)于直線對(duì)稱,并說(shuō)明理由.

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已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)的直線交橢圓兩點(diǎn),則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?
若存在其最大值及此時(shí)的直線方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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給定橢圓,稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”,已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是.
(1)若橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)滿足,求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
(2)在(1)的條件下,過(guò)點(diǎn)作直線l與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn),且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長(zhǎng)為,求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)已知,是否存在a,b,使橢圓C的“伴隨圓”上的點(diǎn)到過(guò)兩點(diǎn)的直線的最短距離.若存在,求出a,b的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知橢圓.

(1)橢圓的短軸端點(diǎn)分別為(如圖),直線分別與橢圓交于兩點(diǎn),其中點(diǎn)滿足,且.
①證明直線軸交點(diǎn)的位置與無(wú)關(guān);
②若∆面積是∆面積的5倍,求的值;
(2)若圓:.是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線,其中交圓、兩點(diǎn),交橢圓于另一點(diǎn).求面積取最大值時(shí)直線的方程.

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(1)已知定點(diǎn)、,動(dòng)點(diǎn)N滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),,,求點(diǎn)P的軌跡方程.

(2)如圖,已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上,且異于點(diǎn),直線與直線分別交于點(diǎn),

(。┰O(shè)直線的斜率分別為、,求證:為定值;
(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

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