Question

【題目】已知正方形的邊長為4，E，F分別為，的中點，以為棱將正方形折成如圖所示的的二面角，點M在線段上.

（1）若M為的中點，且直線與由A，D，E三點所確定平面的交點為G，試確定點G的位置，并證明直線面；

（2）是否存在M，使得直線與平面所成的角為；若存在，求此時的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點G在平面與平面的交線上，見解析；（2）存在，或

【解析】

（1）根據(jù)平面的基本性質(zhì)可求得點G的位置，再根據(jù)平面幾何中矩形和三角形的性質(zhì)得出線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理可得證；

（2）由已知可得，，，所以平面，所以平面平面，取的中點H為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)線面角的空間坐標(biāo)計算公式可得的坐標(biāo)，可得解.

（1）因為直線平面，故點G在平面內(nèi)也在平面內(nèi)，所以點G在平面與平面的交線上（如圖所示），

因為，M為的中點，所以，所以，，

所以點G在的延長線上，且，連結(jié)交于N，

因為四邊形為矩形，所以N是的中點，連結(jié)，因為為的中位線，所以，

又因為平面，所以直線面.

（2）由已知可得，，，所以平面，所以平面平面，

取的中點H為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以，，，，所以，，

設(shè)（），則，設(shè)平面的法向量，則

，取，則，，所以，

與平面所成的角為，所以，

所以，所以，解得或，此時或，

所以存在點M，使得直線與平面所成的角為.