Question

等腰△ABC的底邊AB=6

6

，高CD=3，點E是線段BD上異于點B，D的動點．點F在BC邊上，且EF⊥AB．現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．
（Ⅰ）證明EF⊥平面PAE；
（Ⅱ）記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積，求V（x）的表達式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明線面垂直，即證EF⊥PE，利用EF⊥AB，可得結(jié)論；
（Ⅱ）證明PE為四棱錐P-ACFE的高，求出的面積，即可得到四棱錐P-ACFE的體積．

解答：（Ⅰ）證明：∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°，故EF⊥PE，
∵EF⊥AB．AB∩PE=E，∴EF⊥平面PAE．…（6分）
（Ⅱ）解：∵PE⊥AE，PE⊥EF，∴PE⊥平面ABC，即PE為四棱錐P-ACFE的高．
由高線CD及EF⊥AB得EF∥CD，∴

BE

BD

=

EF

CD

，
由題意知

x

3 6

=

EF

3

∴EF=

6

6

x．…（9分）
∴SACFE=S△ABC-S△BEF=

1

2

×6

6

×3-

1

2

×

6

6

x2=9

6

-

6

12

x2．
∵PE=EB=x，
∴V(x)=

1

3

SACFE•PE=3

6

x-

6

36

x3，(0＜x＜3

6

)．…（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查四棱錐體積的計算，掌握線面垂直的判定，正確計算體積是關(guān)鍵．