【題目】如圖,已知圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱錐,為圓柱的一條母線,,為下底面圓的直徑,,.
(1)在圓柱的上底面圓內(nèi)是否存在一點(diǎn),使得平面?證明你的結(jié)論.
(2)設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn),,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【答案】(1)當(dāng)點(diǎn)為上底面圓的圓心時(shí),證明見解析.(2)
【解析】
(1)當(dāng)點(diǎn)為上底面圓的圓心時(shí),平面,取上底面圓的圓心為,連接,,,,先證明四邊形為平行四邊形,可得到,然后可得四邊形為平行四邊形,然后得到即可.
(2)以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,算出平面的法向量,平面的一個(gè)法向量為,然后算出答案即可.
(1)當(dāng)點(diǎn)為上底面圓的圓心時(shí),平面.
證明如下:
如圖,取上底面圓的圓心為,連接,,,,
則,.
所以四邊形為平行四邊形,
所以,所以.
又,所以四邊形為平行四邊形,
所以.
因?yàn)?/span>平面,平面,
所以平面.
故點(diǎn)為上底面圓的圓心時(shí),平面.
(2)以為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
于是可得,,,,,,
所以,.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
由,得.
令,則可取.
取平面的一個(gè)法向量為.
設(shè)平面與平面所成的銳二面角為,則
,
故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能,從設(shè)備生產(chǎn)該零件的流水線上隨機(jī)抽取100個(gè)零件為樣本,測(cè)量其直徑后,整理得到下表:
經(jīng)計(jì)算,樣本的平均值,標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率的估計(jì)值.
(I)為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進(jìn)行判定(表示相應(yīng)事件的概率):
①;
②;
③.
判定規(guī)則為:若同時(shí)滿足上述三個(gè)式子,則設(shè)備等級(jí)為甲;若僅滿足其中兩個(gè),則等級(jí)為乙,若僅滿足其中一個(gè),則等級(jí)為丙;若全部都不滿足,則等級(jí)為了.試判斷設(shè)備的性能等級(jí).
(Ⅱ)將直徑尺寸在之外的零件認(rèn)定為是“次品”.
①?gòu)脑O(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨機(jī)抽取2個(gè)零件,求其中次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望;
②從樣本中隨意抽取2個(gè)零件,求其中次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的極坐標(biāo)方程;
Ⅱ若直線與曲線C交于點(diǎn)不同于原點(diǎn),與直線l交于點(diǎn)B,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們正處于一個(gè)大數(shù)據(jù)飛速發(fā)展的時(shí)代,對(duì)于大數(shù)據(jù)人才的需求也越來越大,其崗位大致可分為四類:數(shù)據(jù)開發(fā)、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)產(chǎn)品.某市2019年這幾類工作崗位的薪資(單位:萬元/月)情況如下表所示:
薪資 崗位 | ||||
數(shù)據(jù)開發(fā) | ||||
數(shù)據(jù)分析 | ||||
數(shù)據(jù)挖掘 | ||||
數(shù)據(jù)產(chǎn)品 |
由表中數(shù)據(jù)可得該市各類崗位的薪資水平高低情況為( )
A.數(shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)產(chǎn)品>數(shù)據(jù)分析
B.數(shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)產(chǎn)品>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)分析
C.數(shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)分析>數(shù)據(jù)產(chǎn)品
D.數(shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)產(chǎn)品>數(shù)據(jù)分析>數(shù)據(jù)開發(fā)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱錐,為圓柱的一條母線,,為下底面圓的直徑,,.
(1)在圓柱的上底面圓內(nèi)是否存在一點(diǎn),使得平面?證明你的結(jié)論.
(2)設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn),,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某科研小組為了研究一種治療新冠肺炎患者的新藥的效果,選50名患者服藥一段時(shí)間后,記錄了這些患者的生理指標(biāo)和的數(shù)據(jù),并統(tǒng)計(jì)得到如下的列聯(lián)表(不完整):
合計(jì) | |||
12 | 36 | ||
7 | |||
合計(jì) |
其中在生理指標(biāo)的人中,設(shè)組為生理指標(biāo)的人,組為生理指標(biāo)的人,他們服用這種藥物后的康復(fù)時(shí)間(單位:天)記錄如下:
組:10,11,12,13,14,15,16
組:12,13,15,16,17,14,25
(Ⅰ)填寫上表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為患者的兩項(xiàng)生理指標(biāo)和有關(guān)系;
(Ⅱ)從,兩組隨機(jī)各選1人,組選出的人記為甲,組選出的人記為乙,求甲的康復(fù)時(shí)間比乙的康復(fù)時(shí)間長(zhǎng)的概率.
附:,其中.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=﹣x+|2x+1|,不等式f(x)<2的解集是M.
(Ⅰ)求集合M;
(Ⅱ)設(shè)a,b∈M,證明:|ab|+1>|a|+|b|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,AB是圓O:x2+y2=1的直徑,且點(diǎn)A在第一象限;圓O1:(x﹣a)2+y2=r2(a>0)與圓O外離,線段AO1與圓O1交于點(diǎn)M,線段BM與圓O交于點(diǎn)N,且,則a的取值范圍為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橋牌是一種高雅、文明、競(jìng)技性很強(qiáng)的智力性游戲.近年來,在中國(guó)橋牌協(xié)會(huì)“橋牌進(jìn)校園”活動(dòng)的號(hào)召下,全國(guó)各地中小學(xué)紛紛積極加入到青少年橋牌推廣的大營(yíng)中.為了了解學(xué)生對(duì)橋牌這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的興趣,某校從高一學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,經(jīng)統(tǒng)計(jì)男生與女生的人數(shù)之比為2:3,男生中有50人對(duì)橋牌有興趣,女生中有20人對(duì)橋牌不感興趣.
(1)完成2×2列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為“該校高一學(xué)生對(duì)橋牌是否感興趣與性別有關(guān)”?
感興趣 | 不感興趣 | 合計(jì) | |
男 | 50 | —— | —— |
女 | —— | 20 | —— |
合計(jì) | —— | —— | 200 |
(2)從被調(diào)查的對(duì)橋牌有興趣的學(xué)生中利用分層抽樣抽取6名學(xué)生,再?gòu)?/span>6名學(xué)生中抽取2名學(xué)生作為橋牌搭檔參加雙人賽.求抽到一名男生與一名女生的概率.
附:參考公式,其中.
臨界值表:
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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