Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

.

①當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.

②當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

③當(dāng)時(shí)，.

易知恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

④當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時(shí)，不等式化為.

記，則.

顯然在上單調(diào)遞增，

且，.

所以在上有唯一的零點(diǎn)，且.

所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

由，即，得，

所以 ，

而易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，

所以.

所以，即.