Question

【題目】已知，，，，，，邊上一點(diǎn)，這里異于．由引邊的垂線是垂足，再由引邊的垂線是垂足，又由引邊的垂線是垂足．同樣的操作連續(xù)進(jìn)行，得到點(diǎn)，，．設(shè)，如圖所示.

（1）求的值；

（2）某同學(xué)對(duì)上述已知條件的研究發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：，問該同學(xué)這個(gè)結(jié)論是否正確并說明理由；

（3）用和表示．

Answer 1

【答案】（1）（2）結(jié)論正確，證明見解析；（3），．

【解析】

（1），根據(jù)向量數(shù)量積公式，求出，即可求解；

（2）只需在中，求出，判斷是否成立即可，在中，由余弦定理求出，根據(jù)已知得出，進(jìn)而求出，即可得到；

（3）由已知可得，，分別通過，，，將用表示，結(jié)合，得到遞推關(guān)系，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.

（1）∵，

∴．

∴．

（2）該同學(xué)的結(jié)論正確，證明如下：

由（1）及已知，得，，．

由余弦定理知．

又，則．

∴．

即．

（3）由已知．

∵，∴．

∴

．

即，也即．

∴，，

是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，

，

∴，．