Question

【題目】設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線(xiàn)，D是直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線(xiàn)l上，且滿(mǎn)足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)C．
（1）求曲線(xiàn)C的方程，判斷曲線(xiàn)C為何種圓錐曲線(xiàn)，并求焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于P、Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線(xiàn)QN交曲線(xiàn)C于另一點(diǎn)H，是否存在m，使得對(duì)任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，設(shè)M（x，y），A（x0，y0）

∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|

∴x0=x，|y0|= |y|①

∵點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，∴ ②

①代入②即得所求曲線(xiàn)C的方程為

∵m∈（0，1）∪（1，+∞），

∴0＜m＜1時(shí)，曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（ ），

m＞1時(shí)，曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（ ），

（2）解：如圖2、3，x1∈（0，1），設(shè)P（x1，y1），H（x2，y2），則Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），

∵P，H兩點(diǎn)在橢圓C上，∴

①﹣②可得 ③

∵Q，N，H三點(diǎn)共線(xiàn)，∴kQN=kQH，∴

∴kPQkPH=

∵PQ⊥PH，∴kPQkPH=﹣1

∴

∵m＞0，∴

故存在 ，使得在其對(duì)應(yīng)的橢圓 上，對(duì)任意k＞0，都有PQ⊥PH

【解析】（1）設(shè)M（x，y），A（x0 ， y0），根據(jù)丨DM丨=m丨DA丨，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系x0=x，|y0|= |y|，利用點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)即得所求曲線(xiàn)C的方程；根據(jù)m∈（0，1）∪（1，+∞），分類(lèi)討論，可確定焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）x1∈（0，1），設(shè)P（x1 ， y1），H（x2 ， y2），則Q（﹣x1 ， ﹣y1），N（0，y1），利用P，H兩點(diǎn)在橢圓C上，可得 ，從而可得可得 ．利用Q，N，H三點(diǎn)共線(xiàn)，及PQ⊥PH，即可求得結(jié)論．