【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC.
(1)求cosA,sinA的值;
(2)若cosB+cosC= ,求cosC+ sinC的值.

【答案】
(1)解:三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,3acosA=bcosC+ccosB,

由正弦定理可知:3sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB,

可得3sinAcosA=sin(B+C)=sinA,

∵A為三角形內角,sinA≠0,

∴cosA= ,sinA= =


(2)解:∵cosB+cosC=cosB﹣cos(A+B)= ,

∴cosB﹣cosAcosB+sinAsinB=cosB﹣ cosB+ sinB= ,可得:cosB+ sinB= ,

=3,化簡可得:tan2B﹣2 tanB+2=0,解得:tanB= ,

∴cosB= = ,sinB= = ,

∴cosC=﹣cos(A+B)=sinAsinB﹣cosAcosB= × = ,sinC= =

∴cosC+ sinC= + =


【解析】(1)通過正弦定理化簡已知條件,利用兩角和的正弦函數(shù)與二倍角公式,結合誰教你的內角和即可求A;(2)由三角形內角和定理化簡已知可得:cosB+ sinB= ,解得tanB,cosB,sinB的值,利用兩角和的余弦函數(shù)公式可求cosC,進而可求sinC的值,即可計算得解.
【考點精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識點,需要掌握正弦定理:;余弦定理:;;才能正確解答此題.

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