Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）時，討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若對任意的恒有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的極小值為，無極大值；（Ⅱ）當(dāng)時，函數(shù)的在定義域單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增．

（Ⅲ）．

【解析】

試題（1）函數(shù)的定義域為， 當(dāng)時，函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值；

（2）由，所以，

令，得，，對、、分類討論，求出的單調(diào)性；

（3）若對任意的恒有成立，等價于當(dāng)，對任意的，恒有成立，由（Ⅱ）知，，所以上式化為對任意的，恒有成立，即，因為，所以，所以．

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為．，令，

得；（舍去）．

當(dāng)變化時，的取值情況如下：

	—	0
	減	極小值	增

所以，函數(shù)的極小值為，無極大值．

（2），令，得，，

當(dāng)時，，函數(shù)的在定義域單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在區(qū)間，，上，單調(diào)遞減，

在區(qū)間，上，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在區(qū)間，，上，單調(diào)遞減，

在區(qū)間，上，單調(diào)遞增．

（3）由（2）知當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；所以，當(dāng)時，，

問題等價于：對任意的，恒有成立，即，因為a<0，，所以，實數(shù)的取值范圍是．