Question

（2005•上海模擬）設f(x)=

ax+1

1-ax

(a＞0，a≠1)．
（1）求f（x）的反函數f^-1（x）：
（2）討論f^-1（x）在（1．+∞）上的單調性，并加以證明：
（3）令g（x）=1+log_ax，當[m，n]?（1，+∞）（m＜n）時，f^-1（x）在[m，n]上的值域是[g（n），g（m）]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令y=f(x)=

ax+1

1-ax

(a＞0，a≠1)，由求反函數的規(guī)則解出f^-1（x）．
（2）由（1）f-1(x)=loga

x-1

x+1

(x＞1或x＜-1)，此是一個復合函數函數，外層函數的單調性要由底數a的取值范圍確定，要分兩類討論，內層函數的單調性可由定義法證明，再由復合函數的單調性判斷出函數的單調性即可．
（3）本題要按a的取值范圍分兩類求解，當0＜a＜1時，g（x）=1+log_ax是一個減函數，由（2）f^-1（x）在（1．+∞）上是減函數故可得

f-1(m)=g(m) f-1(n)=g(n)

從中解出a的取值范圍，當a＞1時，同理可得

f-1(m)=g(n) f-1(n)=g(m)

，解出a的取值范圍，再并起來即可得到符合條件的參數的取值范圍．

解答：解：（1）令y=f(x)=

ax+1

1-ax

(a＞0，a≠1)，解得f-1(x)=loga

x-1

x+1

(x＞1或x＜-1)
（2）設1＜x₁＜x₂，∵

x1-1

x1+1

-

x2-1

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0
∴0＜a＜1時，f^-1（x₁）＞f^-1（x₂），
∴f^-1（x）在（1．+∞）上是減函數：
a＞1時，f^-1（x₁）＜f^-1（x₂），
∴f^-1（x）在（1．+∞）上是增函數．
（3）當0＜a＜1時，∵f^-1（x）在（1．+∞）上是減函數，
∴

f-1(m)=g(m) f-1(n)=g(n)

，即有loga

x-1

x+1

=1+logax得

x-1

x+1

=ax，即ax²+（a-1）x+1=0，可知方程的兩個根均大于1，故有

△＞0 f(1)＞0 1-a 2a ＞1

⇒0＜a＜3-2

2

，
當a＞1時，∵f^-1（x）在（1．+∞）上是增函數，
∴

f-1(m)=g(n) f-1(n)=g(m)

⇒

m-1=amn+an n-1=amn+am

⇒a=-1（舍去）．   
綜上，得 0＜a＜3-2

2

．

點評：本題考查對數函數的綜合運用，考查了反函數的求法，復合函數單調性的判斷，利用單調性確定函數的最值，解題的關鍵是理解對數的單調性，利用單調性判斷出最值，由最值得出方程，解出參數的取值范圍，分類討論得出函數的單調性是本題的重點，本題難點出現在第三小題，由

f-1(m)=g(m) f-1(n)=g(n)

，轉化出loga

x-1

x+1

=1+logax，題后注意體會規(guī)律．