Question

如圖，在三棱柱ABCA₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A₁B＝2.

(1)求棱AA₁與BC所成的角的大小；
(2)在棱B₁C₁上確定一點P，使二面角P－AB－A₁的平面角的余弦值為.

Answer 1

（1）（2）P(1，3，2)

(1)如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，

則C(2，0，0)，B(0，2，0)，A₁(0，2，2)，B₁(0，4，2)，＝(0，2，2)，＝＝(2，－2，0)．cos〈，〉＝＝＝－，故AA₁與棱BC所成的角是.
(2)P為棱B₁C₁中點，設＝λ＝(2λ，－2λ，0)，則P(2λ，4－2λ，2)．
設平面PAB的法向量為n₁＝(x，y，z)，＝(2λ，4－2λ，2)，
則故n₁＝(1，0，－λ)，
而平面ABA₁的法向量是n₂＝(1，0，0)，則cos〈n₁，n₂〉＝＝＝，解得λ＝，即P為棱B₁C₁中點，其坐標為P(1，3，2)．