Question

如圖，在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，A₁A＝AC，D、E、F分別為線段AC、A₁A、C₁B的中點(diǎn)．

(1)證明：EF∥平面ABC；
(2)證明：C₁E⊥平面BDE.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

證明：(1)取BC的中點(diǎn)G，連結(jié)AG、FG.
因?yàn)镕為C₁B的中點(diǎn)，所以FG∥=C₁C.
在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁A∥=C₁C，且E為A₁A的中點(diǎn)，所以FG∥=EA.
所以四邊形AEFG是平行四邊形.所以EF∥AG.
因?yàn)镋F平面ABC，AG平面ABC，所以EF∥平面ABC.
(2)因?yàn)樵谡�三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，BD平面ABC，所以A₁A⊥BD.
因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，BA＝BC，所以BD⊥AC.
因?yàn)锳₁A∩AC＝A，A₁A平面A₁ACC₁，AC平面A₁ACC₁，所以BD⊥平面A₁ACC₁.
因?yàn)镃₁E平面A₁ACC₁，所以BD⊥C₁E.
根據(jù)題意，可得EB＝C₁E＝AB，C₁B＝AB，
所以EB²＋C₁E²＝C₁B².從而∠C₁EB＝90°，即C₁E⊥EB.
因?yàn)锽D∩EB＝B，BD平面BDE,EB平面BDE，所以C₁E⊥平面BDE.