【題目】設(shè)橢圓C ,定義橢圓C相關(guān)圓方程為,若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓C的一個焦點(diǎn)重合,且橢圓C短軸的一個端點(diǎn)和其兩個焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形。

I)求橢圓C的方程和相關(guān)圓”E的方程;

II)過相關(guān)圓”E上任意一點(diǎn)P相關(guān)圓”E的切線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)。

i)證明∠AOB為定值;

ii)連接PO并延長交相關(guān)圓”E于點(diǎn)Q,求ABQ面積的取值范圍。

【答案】(1) (2) i見解析ii

【解析】試題分析:(Ⅰ)由拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個焦點(diǎn)重合,且橢圓C短軸的一個端點(diǎn)和兩個焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,得到 由此能求出橢圓的方程.
進(jìn)而求出“相關(guān)圓”的方程.

(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時,直線方程為 ;當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,代入橢圓方程,得 由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線與圓相切,結(jié)合已知條件推導(dǎo)出為定值.

(ii)要求的面積的取值范圍,只需求弦長的范圍,由此利用橢圓弦長公式能求出面積的取值范圍.

試題解析:Ⅰ)因為若拋物線的焦點(diǎn)為與橢圓的一個焦點(diǎn)重合,所以

又因為橢圓短軸的一個端點(diǎn)和其兩個焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,所以

故橢圓的方程為,

相關(guān)圓的方程為

)(i)當(dāng)直線的斜率不存在時,不妨設(shè)直線AB方程為,

所以

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程設(shè)為,設(shè)

聯(lián)立方程組,,

=,

因為直線與相關(guān)圓相切,所以

為定值

ii)由于相關(guān)圓的直徑,所以,所以要求面積的取值范圍,只需求弦長的取值范圍

當(dāng)直線AB的斜率不存在時,由(i)知

因為

,

所以,

所以,所以

當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”

②當(dāng),|AB |的取值范圍為

面積的取值范圍是.

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