Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（a、b∈R，a、b為常數(shù)），且y=f（x）在x=1處切線方程為y=x﹣1．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè)h（x）= ， k（x）=2h′（x）x2 ， 求證：當(dāng)x＞0時(shí)，k（x）＜+ ．

Answer 1

【答案】解：（1）由題意知，f′（x）=，
故f（1）=ln（1+a）+b=0，
f′（1）=﹣[ln（1+a）+b]=1，
解得，a=b=0；
（2）證明：h（x）==，
h′（x）=，
k（x）=2h′（x）x2=；
當(dāng)x＞0時(shí)，令t=2x，=的導(dǎo)數(shù)為，
顯然t=1取得最大值．
即有∈（0，]，
設(shè)m（x）=1﹣2xlnx﹣2x，
m′（x）=﹣2lnx﹣4=﹣2（lnx+2），
故m（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減，
故mmax（x）=m（）=1+且g（x）與m（x）不于同一點(diǎn)取等號，
故k（x）＜（1+）=+．
【解析】（1）先求導(dǎo)f′（x），從而由f（1）=ln（1+a）+b=0，f′（1）=1組成方程組求解即可；
（2）化簡h（x），求導(dǎo)h′（x），從而化簡k（x）=2h′（x）x2 ， 分別判斷與1﹣2xlnx﹣2x的最大值即可證明．