Question

已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 .

（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求證：；

（3）是否存在非零整數(shù)，使不等式

對(duì)一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) ,

(2)根據(jù)題意，由于，∴.放縮法來(lái)得到證明。

(3)，由是非零整數(shù)，知存在滿(mǎn)足條件．

【解析】

試題分析：(1）由.

當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）．  2分

當(dāng)時(shí)，

由，

∵，∴，則，

∴是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，故．  4分

另法：易得，猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明(略)．

（2）證法一：∵

， 4分

∴當(dāng)時(shí)，

.… 7分

當(dāng)時(shí)，不等式左邊顯然成立.         8分

證法二：∵，∴.

∴. 4分

∴當(dāng)時(shí)，

. 7分

當(dāng)時(shí)，不等式左邊顯然成立.  ……8分

（3）由，得，

設(shè)，則不等式等價(jià)于.

，……9分

∵，∴，數(shù)列單調(diào)遞增.          

假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)一切都成立，則

① 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，得； ……11分

② 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，得，即.  12分

綜上，，由是非零整數(shù)，知存在滿(mǎn)足條件．  12分

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用數(shù)列的單調(diào)性來(lái)證明不等式，以及分離參數(shù)的思想來(lái)求解參數(shù)的取值范圍。