【題目】已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù),對(duì)于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立.當(dāng)x1,x2∈[0,3],且x1≠x2時(shí),都有 >0,給出下列命題:
① f(3)=0;
② 直線(xiàn)x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸;
③ 函數(shù)y=f(x)在[-9,-6]上為單調(diào)遞減函數(shù);
④ 函數(shù)y=f(x)在[-9,9]上有4個(gè)零點(diǎn).
其中正確的命題是____________.(填序號(hào))
【答案】①②③④
【解析】令x=-3,得f(-3)=0,由y=f(x)是偶函數(shù),所以f(3)=f(-3)=0,①正確;因?yàn)閒(x+6)=f(x),所以y=f(x)是周期為6的函數(shù),而偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),所以直線(xiàn)x=-6是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸,②正確;由題意知,y=f(x)在[0,3]上為單調(diào)增函數(shù),所以在[-3,0]上為單調(diào)減函數(shù),故y=f(x)在[-9,-6]上為單調(diào)減函數(shù),③正確;由f(3)=f(-3)=0,知f(-9)=f(9)=0,所以函數(shù)y=f(x)在[-9,9]上有4個(gè)零點(diǎn),④正確.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中,
M、N分別是AB1、BC1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:直線(xiàn)MN//平面ABCD.
(Ⅱ)求B1到平面A1BC1的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面為平行四邊形,PD⊥平面ABCD,M為PC中點(diǎn).
(1)求證:AP∥平面MBD;
(2)若AD⊥PB,求證:BD⊥平面PAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)于函數(shù),稱(chēng)向量為函數(shù)的伴隨向量,同時(shí)稱(chēng)函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)函數(shù),試求的伴隨向量;
(Ⅱ)記向量的伴隨函數(shù)為,求當(dāng)且時(shí)的值;
(Ⅲ)由(Ⅰ)中函數(shù)的圖像(縱坐標(biāo)不變)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍,再把整個(gè)圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖像。已知 ,問(wèn)在的圖像上是否存在一點(diǎn),使得.若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E: 的離心率為,過(guò)左焦點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),且|AB|=1.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)P、Q是橢圓E上兩點(diǎn),P在第一象限,Q在第二象限,且OP⊥OQ,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).
當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在定圓O,使得直線(xiàn)PQ都與定圓O相切?若存在,請(qǐng)求出圓O的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),且直線(xiàn)是函數(shù)的一條切線(xiàn).
(1)求的值;
(2)對(duì)任意的,都存在,使得,求的取值范圍;
(3)已知方程有兩個(gè)根,若,求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,若且,數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿(mǎn)足.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前項(xiàng)和;
(Ⅱ)是否存在非零實(shí)數(shù),使得數(shù)列為等比數(shù)列?并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)都有成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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