Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）討論在上的單調(diào)性.

（2）當(dāng)時(shí)，若在上的最大值為，討論：函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；（2）個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1）求得，根據(jù)范圍可知，進(jìn)而通過(guò)對(duì)的正負(fù)的討論得到函數(shù)單調(diào)性；

（2）由（1）可得函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而利用最大值構(gòu)造方程求得，得到函數(shù)解析式；利用單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可確定在上有個(gè)零點(diǎn)；令，求導(dǎo)后，可確定在上存在零點(diǎn)，從而得到的單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增

，解得：

在上單調(diào)遞增，，

在內(nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn)

令，

當(dāng)時(shí)，，，

在內(nèi)單調(diào)遞減

又，

，使得

當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

在上無(wú)零點(diǎn)且

又

在上有且僅有個(gè)零點(diǎn)

綜上所述：在上共有個(gè)零點(diǎn)