Question

【題目】數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，；數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，.

（1）求，；

（2）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（3）求.

Answer 1

【答案】（1）1，5；（2），；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)題意，可知數(shù)列滿(mǎn)足，令和時(shí)，代入計(jì)算，即可求出，；

（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出基本量，即可求出的通項(xiàng)公式；根據(jù)和的關(guān)系和遞推關(guān)系，利用等差中項(xiàng)法證明是首項(xiàng)為，公差的等差數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式；

（3）由（2）得出，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求結(jié)果.

解：（1）由于數(shù)列滿(mǎn)足，，

則，解得：，

，解得：.

（2）由題可知，等比數(shù)列的公比為正數(shù)，即，

且，

易知，解得或（舍去），

則，故，；

由于，①

則，，②

①-②得：，③

則有：，，④

同理③-④得：，（注，也符合），

則為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，

故，．

（3）由（2）得出，

設(shè)，

則，

，

兩式相減可得：，

即，

化簡(jiǎn)可得，

即.