Question

【題目】某實驗室一天的溫度（單位：℃）隨時間t（單位：h）的變化近似滿足函數關系： f（t）=10﹣ ，t∈[0，24）
（Ⅰ）求實驗室這一天的最大溫差；
（Ⅱ）若要求實驗室溫度不高于11℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣ =10﹣2sin（ t+ ），t∈[0，24），

∴ ≤ t+ ＜ ，故當 t+ = 時，及t=14時，函數取得最大值為10+2=12，

當 t+ = 時，即t=2時，函數取得最小值為10﹣2=8，

故實驗室這一天的最大溫差為12﹣8=4℃．

（Ⅱ）由題意可得，當f（t）＞11時，需要降溫，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（ t+ ），

由10﹣2sin（ t+ ）＞11，求得sin（ t+ ）＜﹣ ，即 ＜ t+ ＜ ，

解得10＜t＜18，即在10時到18時，需要降溫．

【解析】（Ⅰ）利用兩角和差的正弦公式化簡函數解析式為f（t）10﹣2sin（ t+ ），t∈[0，24），利用正弦函數的定義域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得實驗室這一天的最大溫差．（Ⅱ）由題意可得，當f（t）＞11時，需要降溫，由f（t）＞11，求得sin（ t+ ）＜﹣ ，即 ＜ t+ ＜ ，解得t的范圍，可得結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．