【題目】已知函數(shù).

)求曲線在點處的切線方程;

)求證:“”是“函數(shù)有且只有一個零點” 的充分必要條件.

【答案】;(證明見解析.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)切線的幾何意義得到切線的斜率 ,所以切線方程為;(2)先證充分性再證必要性,含參討論,函數(shù)圖像和x軸的交點情況。

解析:

依題意,

所以切線的斜率

又因為,所以切線方程為.

先證不必要性.

時, ,令,解得.

此時, 有且只有一個零點,故“有且只有一個零點則”不成立.

再證充分性.

方法一:

時, .

,解得.

i,即時,

所以上單調(diào)增.

,

所以有且只有一個零點.

ii,即時,

, 的變化情況如下:

0

0

0

極大值

極小值

時, , ,所以

所以有且只有一個零點.

iii)當,即時, , 的變化情況如下:

0

0

0

極大值

極小值

因為,所以時,

.

下面證明當時, .

設(shè),.

時, 上單調(diào)遞增;

時, 上單調(diào)遞減

所以當時, 取得極大值.

所以當時, , .

所以.

由零點存在定理, 有且只有一個零點.

綜上, 是函數(shù)有且只有一個零點的充分不必要條件.

方法二:

時,注意到時, , , ,

因此只需要考察上的函數(shù)零點.

i)當,即時, 時, ,

單調(diào)遞增.

有且只有一個零點.

ii)當,即時,以下同方法一.

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】近年來鄭州空氣污染較為嚴重,現(xiàn)隨機抽取一年(365天)內(nèi)100天的空氣中指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù),統(tǒng)計結(jié)果如下:

空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕微污染

輕度污染

中度污染

中度重污染

重度污染

天數(shù)

4

13

18

30

9

11

15

記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失為 (單位:元), 指數(shù)為.當在區(qū)間內(nèi)時對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟損失;當在區(qū)間內(nèi)時對企業(yè)造成經(jīng)濟損失成直線模型(當指數(shù)為150時造成的經(jīng)濟損失為500元,當指數(shù)為200 時,造成的經(jīng)濟損失為700元);當指數(shù)大于300時造成的經(jīng)濟損失為2000元.

非重度污染

重度污染

合計

供暖季

非供暖季

合計

100

(1)試寫出的表達式;

(2)試估計在本年內(nèi)隨機抽取一天,該天經(jīng)濟損失大于500元且不超過900元的概率;

(3)若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有8天為重度污染,完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)?

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【題目】設(shè)是定義在上的偶函數(shù), ,都有,且當時, ,若函數(shù))在區(qū)間內(nèi)恰有三個不同零點,則實數(shù)的取值范圍是( )

A. B.

C. D.

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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線,以平面直角坐標系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知直線.

(1)將曲線上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的倍、2倍后得到曲線.試寫出直線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程;

(2)在曲線上求一點,使點到直線的距離最大,并求出此最大值.

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【題目】如圖1,梯形中, , , , 中點.將沿翻折到的位置,使,如圖2.

)求證:平面與平面;

)求直線與平面所成角的正弦值;

)設(shè)分別為的中點,試比較三棱錐和三棱錐(圖中未畫出)的體積大小,并說明理由.

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