【題目】如圖，在四邊形中，，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.

（1）證明：平面；

（2）若為的中點，二面角等于60°，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）利用線面垂直的判定定理和性質定理即可證明；

（2）由題意知，，取的中點，連接，易知兩兩垂直，以為原點建立如圖所示的坐標系，設，平面的一個法向量為，求出向量，則向量所成角的余弦值的絕對值即為所求.

（1）證明：因為，

所以平面，

又因為平面，所以.

又因為，

所以平面.

（2）因為，

所以是二面角的平面角，即，

在中，，

取的中點，連接，因為,

所以,由（1）知，平面，為的中位線，

所以，即兩兩垂直，

以為原點建立如圖所示的坐標系，設，則

，

，設平面的一個法向量為，

則由得令，得，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)），是函數(shù)的一個極值點．

（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；

（2）設，若，不等式恒成立，求的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列說法正確的是（ ）

A.，“”是“”的必要不充分條件

B.“為真命題”是“為真命題”的必要不充分條件

C.命題“”的否定是：“使得”

D.命題p：“”，則是真命題

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，點在軸上，點在軸上，且，，當點在軸上運動時，動點的軌跡為曲線.過軸上一點的直線交曲線于，兩點.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）證明：存在唯一的一點，使得為常數(shù)，并確定點的坐標.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】年是打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)三年行動計劃的決勝之年，近年來，在各地各部門共同努力下，藍天保衛(wèi)戰(zhàn)各項任務措施穩(wěn)步推進，取得了積極成效，某學生隨機收集了甲城市近兩年上半年中各天的空氣量指數(shù)，得到頻數(shù)分布表如下：

年上半年中天的頻數(shù)分布表

的分組

天數(shù)

年上半年中天的頻數(shù)分布表

的分組

天數(shù)

（1）估計年上半年甲城市空氣質量優(yōu)良天數(shù)的比例；

（2）求年上半年甲城市的平均數(shù)和標準差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（精確到）

（3）用所學的統(tǒng)計知識，比較年上半年與年上半年甲城市的空氣質量情況.

附：

的分組

空氣質量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴重污染

.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy上取兩個定點A1（，0），A2（，0），再取兩個動點N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2.

（1）求直線A1N1與A2N2交點M的軌跡C的方程；

（2）過R（3，0）的直線與軌跡C交于P，Q，過P作PN⊥x軸且與軌跡C交于另一點N，F為軌跡C的右焦點，若（λ＞1），求證：.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一個籠子里關著只貓，其中有只白貓，只黑貓．把籠門打開一個小口，使得每次只能鉆出只貓．貓爭先恐后地往外鉆.如果只貓都鉆出了籠子，以表示只白貓被只黑貓所隔成的段數(shù)．例如，在出籠順序為“□■□□□□■□□■”中，則．

（1）求三只黑貓挨在一起出籠的概率；

（2）求的分布列和數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】過去五年，我國的扶貧工作進入了“精準扶貧”階段.目前“精準扶貧”覆蓋了全部貧困人口，東部幫西部，全國一盤棋的扶貧格局逐漸形成.到2020年底全國830個貧困縣都將脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口將全部脫貧，這將超過全球其他國家過去30年脫貧人口總和.2020年是我國打贏脫貧攻堅戰(zhàn)收官之年，越是到關鍵時刻，更應該強調“精準”.為落實“精準扶貧”政策，某扶貧小組，為一“對點幫扶”農戶引種了一種新的經濟農作物，并指導該農戶于2020年初開始種植.已知該經濟農作物每年每畝的種植成本為1000元，根據(jù)前期各方面調查發(fā)現(xiàn)，該經濟農作物的市場價格和畝產量均具有隨機性，且兩者互不影響，其具體情況如下表：

該經濟農作物畝產量(kg)

該經濟農作物市場價格(元/kg)

概率

概率

（1）設2020年該農戶種植該經濟農作物一畝的純收入為X元，求X的分布列；

（2）若該農戶從2020年開始，連續(xù)三年種植該經濟農作物，假設三年內各方面條件基本不變，求這三年中該農戶種植該經濟農作物一畝至少有兩年的純收入不少于16000元的概率；

（3）2020年全國脫貧標準約為人均純收入4000元.假設該農戶是一個四口之家，且該農戶在2020年的家庭所有支出與其他收入正好相抵，能否憑這一畝經濟農作物的純收入，預測該農戶在2020年底可以脫貧?并說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，為正方形，且平面平面，點為棱的中點.

（1）在棱上是否存在一點，使得平面？并說明理由；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案