Question

(本題滿分13分)已知拋物線過點(diǎn)。

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求其準(zhǔn)線方程；

（2）是否存在平行于(為坐標(biāo)原點(diǎn)）的直線，使得直線與的距離等于?

若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由。

（3）過拋物線的焦點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)，與拋物線相交于點(diǎn)，求的最小值。

 

Answer 1

【答案】

(1) 拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為 (2) 符合題意的直線存在，其方程為 (3) 的最小值為16.

【解析】

試題分析：（1）將帶入，得，所以,

故所求拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.                   ……2分

（2）假設(shè)存在符合題意的直線，其方程為,

由得,                                     ……3分

直線與拋物線有公共點(diǎn)，

解得,                                           ……4分

由直線與的距離可得，解得,                 ……5分

,

符合題意的直線存在，其方程為.                        ……7分

(3)由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為,

由，得,

設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,

于是,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082713241508562737/SYS201308271325063089329087_DA.files/image031.png">，所以斜率為，

設(shè)，則同理可得。

故==

==

=

=,

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值.                    ……13分

考點(diǎn)：本小題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法和直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、基本不等式的應(yīng)用等，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，且一般出在壓軸題的位置，難度較大，主要是運(yùn)算量較大，所以要充分利用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，盡量簡化運(yùn)算.