(本題滿分13分)已知△的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,且所在直線的斜率之積等于.
(Ⅰ)求頂點(diǎn)的軌跡的方程,并判斷軌跡為何種圓錐曲線;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為(不重合) 試問:直線與軸的交點(diǎn)是否是定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn),若不是,請說明理由.
(1) 當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,且除去兩點(diǎn);
當(dāng)時(shí) 軌跡表示以為圓心半徑是1的圓,且除去兩點(diǎn);
當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,且除去兩點(diǎn);
當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線,且除去兩點(diǎn)
(2) 直線過定點(diǎn)
【解析】
試題分析:(Ⅰ)由題知:
化簡得: ……………………………2分
當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,且除去兩點(diǎn);
當(dāng)時(shí) 軌跡表示以為圓心半徑是1的圓,且除去兩點(diǎn);
當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓,且除去兩點(diǎn);
當(dāng)時(shí) 軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線,且除去兩點(diǎn);
……………………………6分
(Ⅱ)設(shè)
依題直線的斜率存在且不為零,則可設(shè):,
代入整理得
,, ………………………………9分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013041520530357039466/SYS201304152054058203968490_DA.files/image022.png">不重合,則
的方程為 令,
得
故直線過定點(diǎn). ……………………………13分
解二:設(shè)
依題直線的斜率存在且不為零,可設(shè):
代入整理得:
,, ……………………………9分
的方程為 令,
得
直線過定點(diǎn) ……………………………13分
考點(diǎn):考查了圓錐曲線方程,以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
點(diǎn)評:解決含參數(shù)的曲線方程的問題,主要是關(guān)注我們方程的特點(diǎn)來分類討論得到,同時(shí)能結(jié)合設(shè)而不求的思想求解坐標(biāo),進(jìn)而求解直線方程,屬于中檔題。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆福建省高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分13分)已知函數(shù)為奇函數(shù);
(1)求以及m的值;
(2)在給出的直角坐標(biāo)系中畫出的圖象;
(3)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年湖南省高三第一次學(xué)情摸底考試數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本題滿分13 分)
已知函數(shù)
(1)若在的圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處存在垂直于y 軸的切線,求a 的值;
(2)若在區(qū)間(-2,3)內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),求a 取值范圍;
(3)在(1)的條件下,是否存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),若存在,試出實(shí)數(shù)m 的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江西省高一第二學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
.(本題滿分13分)已知圓C:內(nèi)有一點(diǎn)P(2,2),過點(diǎn)P作直線
l交圓C于A、B兩點(diǎn).
(1) 當(dāng)l經(jīng)過圓心C時(shí),求直線l的方程;
(2) 當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí),寫出直線l的方程;
(3) 當(dāng)直線l的傾斜角為45º時(shí),求弦AB的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆安徽省六校教育研究會高二素質(zhì)測試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分13分)已知圓C:
(1)若平面上有兩點(diǎn)A(1 , 0),B(-1 , 0),點(diǎn)P是圓C上的動點(diǎn),求使 取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2) 若是軸上的動點(diǎn),分別切圓于兩點(diǎn)
①若,求直線的方程;
②求證:直線恒過一定點(diǎn).
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