已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩焦點F1、F2和短軸的兩端點B1、B2正好是一正方形的四個頂點，且焦點到橢圓上一點的最近距離為
2
-1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設(shè)P是橢圓上任一點，MN是圓C：x2+（y-2）2=1的任一條直徑，求
PM
•
PN
的最大值．
分析：（1）由題意知b=c，a-c=
2
-1可求得a，c和b的值，進而橢圓的方程可得．
（2）根據(jù)
PM
•
PN
=(
PC
+
CM
)•(
PC
+
CN
)═
PC
2-1從而只需求出|
PC
|的最大值，設(shè)P（x0，y0）代入橢圓方程可得x0和y0，的關(guān)系式，再根據(jù)C點坐標求得
PC
關(guān)于y0的關(guān)系式，進而根據(jù)的范圍求得
PC
的范圍，進而求得
PM
•
PN
的最大值．
解答：解：（1）由題意知b=c，a-c=
2
-1，解得a=
2
，c=b=1，
故橢圓的標準方程為
x2
2
+y2=1．
（2）
PM
•
PN
=(
PC
+
CM
)•(
PC
+
CN
)=(
PC
+
CM
)•(
PC
-
CM
)=
PC
2-1
從而只需求出|
PC
|的最大值
設(shè)P（x0，y0），
則有
x02
2
+y02=1，
即有x02=2-2y02，又C（0，2），
所以
PC
2=
x
2
0
+(y0-2)2=-(y0+2)2+10，
而y0∈[-1，1]，
所以y0=-1時，
PC
2最大值為9，
故
PM
•
PN
的最大值為8．
點評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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