Question

【題目】已知函數(shù) 為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與x軸平行． （Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）= ，x∈（0，+∞）， 且y=f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，
∴f′（1）=0，
∴k=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），
令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜0，
又ex＞0，
∴x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，
x∈（1，+∞）時(shí)，f′x）＜0，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
證明：（Ⅲ）∵g（x）=（x2+x）f′（x），
∴g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），
∴x＞0，g（x）＜1+e﹣21﹣x﹣xlnx＜ （1+e﹣2），
由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），
∴h′（x）=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞），
∴x∈（0，e﹣2）時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，
x∈（e﹣2 ， +∞）時(shí)，h（x）＜0，h（x）遞減，
∴h（x）max=h（e﹣2）=1+e﹣2 ，
∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2 ，
設(shè)m（x）=ex﹣（x+1），
∴m′（x）=ex﹣1=ex﹣e0 ，
∴x∈（0，+∞）時(shí)，m′（x）＞0，m（x）遞增，
∴m（x）＞m（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時(shí)，m（x）＞0，
即 ＞1，
∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜ （1+e﹣2），
∴x＞0，g（x）＜1+e﹣2
【解析】（Ⅰ）先求出f′（x）= ，x∈（0，+∞），由y=f（x）在（1，f（1））處的切線與x軸平行，得f′（1）=0，從而求出k=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），令h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，從而得f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；（Ⅲ）因g（x）= （1﹣x﹣xlnx），x∈（0，+∞），由（Ⅱ）h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），得1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2 ， 設(shè)m（x）=ex﹣（x+1），得m（x）＞m（0）=0，進(jìn)而1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜ （1+e﹣2），問題得以證明．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．