Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n(n為奇數(shù)) an-2n(n為偶數(shù))

（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）設(shè)b_n=a_2n+1+4n-2，n∈N^*，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（3） 求數(shù)列{a_n}前100項中的所有奇數(shù)項的和S．

Answer 1

分析：（1）分別將n=1，2，3，4代入到a_n+1=

1 2 an+n(n為奇數(shù)) an-2n(n為偶數(shù))

中即可得到a₂，a₃，a₄，a₅的值．
（2）先仿照b_n=a_2n+1+4n-2可得到b_n+1=a_2n+3+4（n+1）-2，然后進行整理即可得到b_n+1=

1

2

b_n，從而可求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（3）先根據(jù)（2）中{b_n}的通項公式求出a2n+1=-(

1

2

)n-4n+2，進而代入即可得到s=a₁+a₃+…+a₉₉
=1-[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)49]-4（1+2+…+49）+2×49，再結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和的公式即可得到答案．

解答：解：（1）a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

，a5=-

25

4

（2）b_n+1=a_2n+3+4（n+1）-2=a_2n+2-2（2n+2）+4（n+1）-2
=a2n+2-2=

1

2

 a2n+1+(2n+1)-2= 

1

2

bn
∴數(shù)列{b_n}是公比為

1

2

的等比數(shù)列．
又∵b1=a3+4-2=-

1

2

，∴bn=-(

1

2

)n
（3）由（2）得a2n+1=-(

1

2

)n-4n+2
∴s=a₁+a₃+…+a₉₉=1-[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)49]-4（1+2+…+49）+2×49
=(

1

2

)49-4802

點評：本題主要考查等比數(shù)列的證明和數(shù)列求和的組合法．考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和的公式的運用．