Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)在上的最小值；

（2）對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）探討函數(shù)是否存在零點(diǎn)？若存在，求出函數(shù)的零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3) 函數(shù)無零點(diǎn).

【解析】

試題分析：(1)求函數(shù)的層數(shù)可得，并由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，分別討論當(dāng)與時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性與最小值即可；（2）對(duì)一切，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可；(3)

，由（Ⅰ）知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值是，構(gòu)造函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性與最值可知，且兩個(gè)函數(shù)取得最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)時(shí)不相等，所以有，即兩個(gè)函數(shù)無公共點(diǎn)，即函數(shù)無零點(diǎn).

試題解析： （Ⅰ），

由得，，由得，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.………………（1分）

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，………………（2分）

………………（3分）

（Ⅱ）原問題可化為，………………（4分）

設(shè)，

，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；…………（5分）

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；………………（6分）

，故的取值范圍為.………………（7分）

（Ⅲ）令，得，即，………………（8分）

當(dāng)（Ⅰ）知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值是，…………（9分）

設(shè)，則，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，且，………………（10分）

對(duì)都有，即恒成立，

故函數(shù)無零點(diǎn).……………………（12分）