Question

一個多面體的直觀圖，正（主）視圖，側(cè)（左）視圖如下所示，其中正（主）視圖、側(cè)（左）視圖為邊長為a的正方形．
（1）請在指定的框內(nèi)畫出多面體的俯視圖；
（2）若多面體底面對角線AC，BD交于點O，E為線段AA₁的中點，求證：OE∥平面A₁C₁C；
（3）求該多面體的表面積．

Answer 1

解：（1）根據(jù)多面體的直觀圖、正（主）視圖、側(cè)（左）視圖，得到俯視圖如下：
（2）證明：如圖，連接AC，BD交于O點，因為E為AA₁的中點，O為AC的中點，所以在△AA₁C中，OE為△AA₁C的中位線，
所以O(shè)E∥A₁C，∵OE?平面A₁C₁C，A₁C₁?平面A₁C₁C，
所以O(shè)E∥平面A₁C₁C．
（3）由三示圖可知多面體表面共包括10個面，S_ABCD=a²，，，，
所以表面積．
分析：（1）根據(jù)多面體的直觀圖、正（主）視圖、側(cè)（左）視圖，得到俯視圖．
（2）連接AC，BD交于O點，因為E為AA₁的中點，可得OE為△AA₁C的中位線，OE∥A₁C，從而證得OE∥平面A₁C₁C．
（3）由三示圖可知多面體表面共包括10個面，S_ABCD=a²，，再求出，的值，由表面積 ，運算求出結(jié)果．
點評：本題考查幾何體的三視圖，證明直線和平面平行的方法，求幾何體的表面積，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題