Question

【題目】若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，且f（﹣4）=0，則使得x|f（x）+f（﹣x）|＜0的x的取值范圍是

Answer 1

【答案】{x|x＜0且x≠﹣4}
【解析】解：∵f（x）在（﹣∞，0]上為減函數(shù)，且f（x）為R上的偶函數(shù)，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
又f（4）=0，∴f（﹣4）=f（4）=0，
畫出f（x）的示意圖如圖所示：
∵f（x）為R上的偶函數(shù)，
∴x|f（x）+f（﹣x）|＜0等價于2x|f（x）|＜0，
由圖可得，不等式的解集是{x|x＜0且x≠﹣4}，
所以答案是：{x|x＜0且x≠﹣4}．

【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識點，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能正確解答此題．