【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3﹣bx2+cx+b﹣a(a>0).
(1)設(shè)c=0. ①若a=b,曲線y=f(x)在x=x0處的切線過點(1,0),求x0的值;
②若a>b,求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值.
(2)設(shè)f(x)在x=x1 , x=x2兩處取得極值,求證:f(x1)=x1 , f(x2)=x2不同時成立.
【答案】
(1)解:當(dāng)c=0時,f(x)=ax3﹣bx2+b﹣a.
①若a=b,則f(x)=ax3﹣ax2,
從而f'(x)=3ax2﹣2ax,
故曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程為 = .
將點(1,0)代入上式并整理得 =x0(1﹣x0)(3x0﹣2),
解得x0=0或x0=1.
②若a>b,則令f'(x)=3ax2﹣2bx=0,解得x=0或 .
(。┤鬮≤0,則當(dāng)x∈[0,1]時,f'(x)≥0,
∴f(x)為區(qū)間[0,1]上的增函數(shù),
∴f(x)的最大值為f(1)=0.
( ii)若b>0,列表:
x | 0 | (0, ) | ( ,1) | 1 | |
f′(x) | 0 | ﹣ | 0 | + | |
f(x) | b﹣a<0 | 減函數(shù) | 極小值 | 增函數(shù) | 0 |
所以f(x)的最大值為f(1)=0.
綜上,f(x)的最大值為0
(2)解:假設(shè)存在實數(shù)a,b,c,使得f(x1)=x1與f(x2)=x2同時成立.
不妨設(shè)x1<x2,則f(x1)<f(x2).
因為x=x1,x=x2為f(x)的兩個極值點,
所以f'(x)=3ax2﹣2bx+c=3a(x﹣x1)(x﹣x2).
因為a>0,所以當(dāng)x∈[x1,x2]時,f'(x)≤0,
故f(x)為區(qū)間[x1,x2]上的減函數(shù),
從而f(x1)>f(x2),這與f(x1)<f(x2)矛盾,
故假設(shè)不成立.
既不存在實數(shù)a,b,c,使得f(x1)=x1,f(x2)=x2同時成立
【解析】(1)①計算f′(1),得出切線方程,代入點(1,0)列方程解出x0;②求出f(x)的極值點,判斷兩極值點的大小及與區(qū)間[0,1]的關(guān)系,從而得出f(x)在[0,1]上的單調(diào)性,得出最大值;(2)使用反證法證明.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列有關(guān)命題的說法正確的是( )
A.命題“若xy=0,則x=0”的否命題為:“若xy=0,則x≠0”
B.“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為真命題
C.命題“x∈R,使得2x2﹣1<0”的否定是:“x∈R,均有2x2﹣1<0”
D.命題“若cosx=cosy,則x=y”的逆否命題為真命題
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(c﹣2a) =c
(1)求B的大;
(2)已知f(x)=cosx(asinx﹣2cosx)+1,若對任意的x∈R,都有f(x)≤f(B),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x﹣cosx,{an}是公差為 的等差數(shù)列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,則[f(a3)]2﹣a1a5=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知點A(0,0),B(4,3),若A,B,C三點按順時針方向排列構(gòu)成等邊三角形ABC,且直線BC與x軸交于點D.
(1)求cos∠CAD的值;
(2)求點C的坐標.
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【題目】隨機抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7.
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高;
(2)計算甲班的樣本方差;
(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率。
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【題目】已知數(shù)列{an}的各項均為正整數(shù),其前n項和為Sn , an+1= ,若S3=10,則S180=( )
A.600或900
B.900或560
C.900
D.600
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【題目】若函數(shù) 的圖象向左平移 個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,則下列關(guān)于g(x)敘述正確的是( )
A.g(x)的最小正周期為2π
B.g(x)在 內(nèi)單調(diào)遞增
C.g(x)的圖象關(guān)于 對稱
D.g(x)的圖象關(guān)于 對稱
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