【題目】如圖,定義:以橢圓中心為圓心,長軸為直徑的圓叫做橢圓的輔助圓”.過橢圓第四象限內一點Mx軸的垂線交其輔助圓于點N,當點N在點M的下方時,稱點N為點M下輔助點”.已知橢圓E上的點的下輔助點為(1,﹣1.

1)求橢圓E的方程;

2)若△OMN的面積等于,求下輔助點N的坐標;

3)已知直線lxmyt0與橢圓E交于不同的AB兩點,若橢圓E上存在點P,滿足,求直線l與坐標軸圍成的三角形面積的最小值.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)直接根據(jù)定義先求得a,進而得到b即可;

2)設點Nx0y0)(y01),則點Mx0y1)(y10),根據(jù)橢圓方程以及面積可得x0y1,將其與聯(lián)立得到N坐標;

3)設Ax1y1),Bx2y2),聯(lián)立,結合韋達定理得,因為P在橢圓上可得4t2m2+2,表示出三角形面積結合基本不等式即可求其最小值.

解:(1)∵橢圓上的點(1,)的下輔助點為(1,﹣1),

∴輔助圓的半徑為R,橢圓長半軸為aR,

將點(1)代入橢圓方程中,解得b1

∴橢圓E的方程為;

2)設點Nx0,y0)(y01),則點Mx0y1)(y10),將兩點坐標分別代入輔助圓方程和橢圓方程可得,

x02+y022,,故y022y12,即y0y1

SOMNx0y1y0,則x0y1

x0y1聯(lián)立可解得

∴下輔助點N的坐標為(,)或();

3)由題意可設Ax1,y1),Bx2,y2.

聯(lián)立整理得(m2+2y2+2mty+t220,則△=8m2+2t2)>0.

根據(jù)韋達定理得,

因為.

所以

因為點P在橢圓E上,

所以

整理得,

4t2m2+2,

在直線lxmyt0中,

由于直線l與坐標軸圍成三角形,則t≠0,m≠0.

x0,得,令y0,得xt.

所以三角形面積為,

當且僅當m22,t21時,取等號,此時240.

所以直線l與坐標軸圍成的三角形面積的最小值為.

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