【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0），離心率為 ，左準(zhǔn)線方程是x=﹣2，設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA⊥OB．

（1）求橢圓C的方程；
（2）求△AOB面積取得最小值時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度．

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為c，則離心率e= = ，準(zhǔn)線方程：x=﹣ =2，

解得：c=1，a= ，

由b2=a2﹣c2=1，

橢圓C的方程：


（2）解：由題意，直線OA的斜率存在，設(shè)直線OA的斜率為k，

若k=0時(shí)，則A（ ，0）或（﹣ ，0），B（0，2），

此時(shí)△AOB面積為 ，AB= ．

若k≠0時(shí)，則直線OA：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），

將y=kx代入橢圓 ，整理得：（1+2k2）x2﹣2=0，

由韋達(dá)定理可知：可得丨OA丨= = ，

直線OB：y=﹣ x與y=2聯(lián)立得：B（﹣2k，2），則OB=2 ，

S△OAB= OAOB= ，

令t= ＞1，

則S△OAB= = （t+ ）＞ ，

∴S△OAB的最小值為 ，在k=0時(shí)取得，此時(shí)AB=


【解析】（1）由題意可得：e= = ，x=﹣ =2，聯(lián)立求得a和c的值，由b2=a2﹣c2 ， 即可求得b的值，求得橢圓方程；（2）當(dāng)k=0時(shí)，則A（ ，0）或（﹣ ，0），B（0，2），此時(shí)△AOB面積為 ，AB= ，當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線OA方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及三角形的面積公式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得△AOB面積取得最小值，即可求得k的值，求得線段AB的長(zhǎng)度．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點(diǎn)數(shù)為ai ， 若存在正整數(shù)k，使a1+a2+…+ak=6，則稱k為你的幸運(yùn)數(shù)字．
（1）求你的幸運(yùn)數(shù)字為3的概率；
（2）若k=1，則你的得分為5分；若k=2，則你的得分為3分；若k=3，則你的得分為1分；若拋擲三次還沒(méi)找到你的幸運(yùn)數(shù)字則記0分，求得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，公園有一塊邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC的邊角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.

（1）設(shè)AD＝x（x≥1），ED＝y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本，希望它最短，DE的位置應(yīng)在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，DE的位置又應(yīng)在哪里？請(qǐng)予證明.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓上一點(diǎn),|PF1|=λ|PF2|,∠F1PF2=,則橢圓離心率的取值范圍為(　　)

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線l：x﹣y=1與圓M：x2+y2﹣2x+2y﹣1=0相交于A，C兩點(diǎn)，點(diǎn)B，D分別在圓M上運(yùn)動(dòng)，且位于直線AC兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于兩個(gè)定義域均為D的函數(shù)f（x），g（x），若存在最小正實(shí)數(shù)M，使得對(duì)于任意x∈D，都有|f（x）﹣g（x）|≤M，則稱M為函數(shù)f（x），g（x）的“差距”，并記作||f（x），g（x）||．
（1）求f（x）=sinx（x∈R），g（x）=cosx（x∈R）的差距；
（2）設(shè)f（x）= （x∈[1，e ]），g（x）=mlnx（x∈[1，e ]）．（e≈2.718）
①若m=2，且||f（x），g（x）||=1，求滿足條件的最大正整數(shù)a；
②若a=2，且||f（x），g（x）||=2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=kx2﹣kx，g（x）= ，若使得不等式f（x）≥g（x）對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立的實(shí)數(shù)k存在且唯一，則實(shí)數(shù)a的值為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)常數(shù)a≥0，函數(shù)f（x）=x﹣ln2x+2alnx﹣1
（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比較g（x）的最小值與0的大��；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求證：當(dāng)x＞1時(shí)，恒有x＞ln2x﹣2alnx+1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了了解甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達(dá)標(biāo)，分別從兩廠隨機(jī)各選取了個(gè)輪胎，將每個(gè)輪胎的寬度（單位： ）記錄下來(lái)并繪制出如下的折線圖：

（1）分別計(jì)算甲、乙兩廠提供的個(gè)輪胎寬度的平均值；

（2）輪胎的寬度在內(nèi)，則稱這個(gè)輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎.

（i）若從甲乙提供的個(gè)輪胎中隨機(jī)選取個(gè)，求所選的輪胎是標(biāo)準(zhǔn)輪胎的概率；

（ii）試比較甲、乙兩廠分別提供的個(gè)輪胎中所有標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的方差大小，根據(jù)兩廠的標(biāo)準(zhǔn)輪胎寬度的平均水平及其波動(dòng)情況，判斷這兩個(gè)工廠哪個(gè)廠的輪胎相對(duì)更好？

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案