Question

【題目】已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且過，直線與橢圓交于,兩點(diǎn)（,兩點(diǎn)不是左右頂點(diǎn)），若直線的斜率為時，弦的中點(diǎn)在直線上.

（Ⅰ）求橢圓的方程.

（Ⅱ）若以,兩點(diǎn)為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，則直線是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 橢圓的方程為：;(2)見解析.

【解析】

（1）根據(jù)斜率公式以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，再由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程利用點(diǎn)差法得，因此可得，最后與在橢圓上聯(lián)立方程組解得，（2）根據(jù)以,兩點(diǎn)為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)，得，設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入化簡得，解得或，即得定點(diǎn)，最后驗(yàn)證斜率不存在的情形也滿足.

（Ⅰ）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，

由題意直線的斜率為，弦的中點(diǎn)在直線上，得，，

再根據(jù)作差變形得 ，所以，又因?yàn)闄E圓過得到，

所以橢圓的方程為：.

（Ⅱ）由題意可得橢圓右頂點(diǎn)，

⑴當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，此時要使以,兩點(diǎn)為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)則有以解得或（舍）此時直線為

⑵當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則有，

化簡得①

聯(lián)立直線和橢圓方程得，

， ②

把②代入①得

即

，得或此時直線過或（舍）

綜上所述直線過定點(diǎn).