【題目】如圖，平行四邊形中，，，為邊的中點，沿將折起使得平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）求四棱錐的體積；

（3）求折后直線與平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證得平面，由此證得平面平面.

（2）的中點，根據(jù)等比三角形的性質(zhì)得到由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，也即是四棱錐的高.進(jìn)而求得四棱錐的體積.

（3）以為空間坐標(biāo)系原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量，計算出直線與平面所成的角的正弦值.

（1）證明：∵平面平面，平面平面，

由題易知，且平面.

∴平面，而平面，

∴平面平面.

（2）由已知有是正三角形，取的中點，則，又平面平面于，

則平面，且，

易求得，

∴.

（3）作，由（1）知可如圖建系，

則，，，

，

又，得，

，.

設(shè)平面的法向量，則

，不妨取.

設(shè)折后直線與平面所成的角為，則.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，P為正方體中與的交點，則在該正方體各個面上的射影可能是（）

A. ①②③④B. ①③C. ①④D. ②④

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【題目】某高新企業(yè)自2012年成立以來，不斷創(chuàng)新技術(shù)與產(chǎn)品，積極拓展市場，銷售收入（單位萬元）與年份代號之間對應(yīng)關(guān)系如下表，且滿足回歸函數(shù)，記。

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份代號

1

2

3

4

5

6

7

銷售收入

80

199

398

2512

6310

15848

79432

1.9

2.3

2.6

3.4

3.8

4.2

4.9

（1）任取2年對比銷售收入的情況，求這2年中銷售收入均超過400萬元的概率；

（2）求回歸函數(shù)中的值。

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為

，

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【題目】一幢高樓上安放了一塊高約10 米的 LED 廣告屏，一測量愛好者在與高樓底部同一水平線上的 C 處測得廣告屏頂端A 處的仰角為 31.80°，再向大樓前進(jìn) 20 米到 D 處，測得廣告屏頂端 A 處的仰角為 37.38°（人的高度忽略不計）．

（1）求大樓的高度（從地面到廣告屏頂端）（精確到 1 米）；

（2）若大樓的前方是一片公園空地，空地上可以安放一些長椅，為使坐在其中一個長椅上觀看廣告屏最清晰（長 椅的高度忽略不計），長椅需安置在距大樓底部 E 處多遠(yuǎn)？已知視角 ∠AMB（ M 為觀測者的位置， B 為廣告屏 底部）越大，觀看得越清晰．

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【題目】在三棱錐中，OA、OB、OC所在直線兩兩垂直，且，CA與平面AOB所成角為，D是AB中點，三棱錐的體積是．

（1）求三棱錐的高；

（2）在線段CA上取一點E，當(dāng)E在什么位置時，異面直線BE與OD所成的角為？

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【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點是棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

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（2）設(shè)平面內(nèi)有關(guān)于原點對稱的兩定點，判別是否有最大值和最小值，請說明理由？

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