已知O為原點，向量
OA
=（3cosx，3sinx），
OB
=（3cosx，sinx），
OC
=（2，0），x∈(0，
π
2
)．
（1）求證：（
OA
-
OB
）⊥
OC
；
（2）求tan∠AOB的最大值及相應x值．
分析：（1）先求出
OA
-
OB
=(0，2sinx)，再由（
OA
-
OB
）•
OC
=0×2+2sinx×0=0可證．
（2）由tan∠AOB=tan（∠AOC-∠BOC），根據(jù)兩角差的正切公式可得答案．
解答：解：（1）∵0＜x＜
π
2
，∴3sinx＞sinx，∴
OA
-
OB
≠0
又
OA
-
OB
=(0，2sinx)
∴（
OA
-
OB
）•
OC
=0×2+2sinx×0=0
∴（
OA
-
OB
）⊥
OC
．
（2）tan∠AOC=
3sinx
3cosx
=tanx，tan∠BOC=
sinx
3cosx
=
1
3
tanx
∵
OA
-
OB
=
BA
，∴
BA
⊥
OC
，0＜∠AOB＜
π
2
．
∴tan∠AOB=tan（∠AOC-∠BOC）
=
tan∠AOC-tan∠BOC
1+tan∠AOCtan∠BOC
=
tanx-
1
3
tanx
1+ 
1
3
tan2x

=
2tanx
3+tan2x
≤
2tanx
2
3tanx
=
3
3

（當tanx=
3
即x=
π
3
時取“=”）
所以tan∠AOB的最大值為
3
3
，相應的x=
π
3
點評：本題主要考查向量垂直和點乘之間的關系以及三角的正切求值問題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：黃岡中學　高一數(shù)學(下冊)、期末測試卷 題型：022

已知O為原點，向量，點，則________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為原點，向量，。

（1）求證：；（2）求的最大值及相應的值；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知O為原點，向量
OA
=（3cosx，3sinx），
OB
=（3cosx，sinx），
OC
=（2，0），x∈(0，
π
2
)．
（1）求證：（
OA
-
OB
）⊥
OC
；
（2）求tan∠AOB的最大值及相應x值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年數(shù)學寒假作業(yè)（01）（解析版） 題型：解答題

已知O為原點，向量=（3cosx，3sinx），=（3cosx，sinx），=（2，0），x．
（1）求證：（-）；
（2）求tan∠AOB的最大值及相應x值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案