已知拋物線的焦點為,點是拋物線上的一點,且其縱坐標為4,
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)點是拋物線上的兩點,的角平分線與軸垂直,求的面積最大時直線的方程.

(1);(2)

解析試題分析:(1)由于點是拋物線上的一點,且其縱坐標為4,假設(shè)點,再通過,可得一個關(guān)于的關(guān)系式,在結(jié)合拋物線方程即可求出.從而求得拋物線的方程.
(2)因為的角平分線與軸垂直,所以可知的傾斜角互補,即的斜率互為相反數(shù).所以假設(shè)直線PA,聯(lián)立拋物線方程即可得到點A的坐標,類比地求出點B的坐標.結(jié)合韋達定理,可以得到直線AB的斜率為定值-1.通過假設(shè)直線AB的方程,聯(lián)立拋物線的方程,應(yīng)用點到直線的距離,即可表示三角形的面積.再通過求最值即能到結(jié)論.
試題解析:(1)設(shè),因為,由拋物線的定義得,又,所以,
因此,解得,從而拋物線的方程為
(2)由(1)知點的坐標為,因為的角平分線與軸垂直,所以可知的傾斜角互補,即的斜率互為相反數(shù)
設(shè)直線的斜率為,則,由題意
代入拋物線方程得,該方程的解為4、,
由韋達定理得,即,同理
所以,
設(shè),把代入拋物線方程得
由題意,且,從而
,所以,點的距離
因此,設(shè),
,
,所以上為增函數(shù),因此
面積的最大值為
的面積取最大值時,所以直線的方程為
考點:1.拋物線的性質(zhì).2.函數(shù)的最值.3.等價變換.4.圓錐曲線與函數(shù)知識的交匯.

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